单元形成性评价(二)(第二章) (120分钟 150分) 一、选择题(每小题5分,共60分) 1.函数y=·ln (2-x)的定义域为( ) A.(1,2) B.[1,2) C.(1,2] D.[1,2] 【解析】选B.要使解析式有意义,则 解得1≤x<2,所以所求函数的定义域为[1,2). 2.如图所示,二次函数y=ax2+bx与指数函数y=的图象可能为( ) 【解析】选C.根据指数函数y=可知,a,b同号且不相等,则二次函数y=ax2+bx的对称轴-<0,可排除B与D,又因为二次函数y=ax2+bx过坐标原点,所以C正确. 3.函数y=3的值域是( ) A.[2,+∞) B.(2,+∞) C.(0,1] D.[1,+∞) 【解析】选D.由于≥0,所以函数y=3≥30=1,故函数的值域为[1,+∞). 4.设偶函数f(x)满足f(x)=2x-4(x≥0),则{x|f(x-2)>0}=( ) A.{x|x<-2或x>4} B.{x|x<0或x>4} C.{x|x<0或x>6} D.{x|x<-2或x>2} 【解析】选B.因为f(x)为偶函数, 当x<0时,f(x)=f(-x)=2-x-4. 所以f(x)=若f(x-2)>0, 则有或解得x>4或x<0. 5.下列四个数中最小的是( ) A.log2 B.-0.30.7 C.log3 D.-1 【解析】选C.log3=-log23<-1, -1<-0.30.7<0,log2=-log32∈(-1,0), 所以四个数中,最小的是log3. 6.下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=eln x的定义域和值域相同的是( ) A.y=x B.y=lg x C.y=2x D.y= 【解析】选D.函数y=eln x的定义域和值域均为(0,+∞),函数y=x的定义域和值域均为R,不满足要求;
函数y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为R,不满足要求;
函数y=2x的定义域为R,值域为(0,+∞),不满足要求;
函数y=的定义域和值域均为(0,+∞),满足要求. 7.三个数50.6,0.65,log0.65的大小顺序正确的是( ) A.0.65<log0.65<50.6 B.0.65<50.6<log0.65 C.log0.65<50.6<0.65 D.log0.65<0.65<50.6 【解析】选D.由指数函数与对数函数的图象与性质可知50.6>1,0<0.65<1,log0.65<0,所以log0.65<0.65<50.6. 8.已知log32=a,3b=5,则log3用a,b表示为( ) A.(a+b+1) B.(a+b)+1 C.(a+b+1) D.a+b+1 【解析】选A.因为3b=5,所以b=log35,log3=log330=(log33+log32+log35)=(1+a+b). 9.已知函数y=loga(x+c)(a,c为常数,其中a>0,a≠1)的图象如图所示,则下列结论成立的是( ) A. a>1,c>1 B. a>1,0<c<1 C.0<a<1,c>1 D.0<a<1,0<c<1 【解析】选D.因为函数单调递减,所以0<a<1, 当x=1时,loga(x+c)=loga(1+c)<0, 即1+c>1,即c>0,当x=0时,loga(x+c)=logac>0,即c<1,即0<c<1. 10.已知函数f(x)=2logx的值域为[-1,1],则函数f(x)的定义域是( ) A.
B.[-1,1] C.
D.∪[,+∞) 【解析】选A.因为已知函数f(x)=2logx的值域为[-1,1],所以-1≤2logx≤1, 即log≤2logx≤log, 化简可得 ≤x2≤2.再由x>0 可得≤x≤, 故函数f(x)的定义域为. 11.如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点,那么称这个点为“好点”.在下面的五个点M(1,1),N(1,2),P(2,1),Q(2,2),G中,可以是“好点”的有( ) A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 【解析】选C.设指数函数为y=ax(a>0,a≠1), 显然不过点M,P,若设对数函数为y=logbx(b>0,b≠1),显然不过N点,所以“好点”有2个. 12.某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N=N0e-λt,其中N0,λ是正的常数,则当N=时,t=( ) A.λln 3 B.λln C.ln D.ln 3 【解析】选D.N=N0e-λt,所以=e-λt, 所以-λt=ln ,所以t=-ln , 当N=时,t=ln 3. 二、填空题(每小题5分,共20分) 13.(2·)(-6·)÷(-3·)=______. 【解析】(2·)(-6·)÷(-3·) =÷ ==4a1·b0=4a. 答案:4a 14.设f(x)=则f(f(2))=________. 【解析】因为f(2)=log3(22-1)=1, 所以f(f(2))=f(1)=2e1-1=2. 答案:2 15.若f(x)为R上的奇函数,当x<0时,f(x)=log2(2-x),则f(0)+f(2)=________. 【解析】f(x)为R上的奇函数,则f(0)=0, f(2)=-f(-2),所以f(-2)=log2(2+2)=2,所以f(2)=-2,所以f(0)+f(2)=0-2=-2. 答案:-2 16.设平行于y轴的直线分别与函数y1=log2x及函数y2=log2x+2的图象交于B,C两点,点A(m,n)位于函数y2=log2x+2的图象上,如图,若△ABC为正三角形,则m·2n=________. 【解析】由题意知,n=log2m+2,所以m=2n-2.又BC=y2-y1=2,且△ABC为正三角形,所以可知B(m+,n-1)在y1=log2x的图象上,所以n-1=log2(m+),即m=2n-1-,所以2n=4,所以m=,所以m·2n=×4=12. 答案:12 三、解答题(共70分) 17.(10分)已知x∈[-3,2],求f(x)=-+1的最小值与最大值. 【解析】f(x)=-+1=4-x-2-x+1=2-2x-2-x+1=+, 因为x∈[-3,2],所以≤2-x≤8,则当2-x=,即x=1时,f(x)有最小值,当2-x=8即x=-3时,f(x)有最大值57. 18.(12分)(1)已知log2(16-2x)=x,求x的值. (2)计算:+810.75-×8+log57·log725. 【解析】(1)因为log2(16-2x)=x, 所以2x=16-2x,化简得2x=8,所以x=3. (2)原式=1+(34)-3×(23)+· =1+27-12+2=18. 19.(12分)已知指数函数f(x)的图象经过点P(3,8),且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称. (1)求函数g(x)的解析式. (2)若g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5),求x的取值范围. 【解析】(1)设指数函数为:f(x)=ax, 因为指数函数f(x)的图象过点(3,8), 所以8=a3,所以a=2, 所求指数函数为f(x)=2x;
因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称,所以g(x)=2-x. (2)由(1)得g(x)为减函数, 因为g(2x2-3x+1)>g(x2+2x-5), 所以2x2-3x+1<x2+2x-5,解得x∈(2,3), 所以x的取值范围为(2,3). 20.(12分)若点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点在幂函数g(x)的图象上. (1)求f(x)和g(x)的解析式. (2)定义h(x)=求函数h(x)的最大值及单调区间. 【解析】(1)设f(x)=xα,因为点(,2)在幂函数f(x)的图象上,所以()α=2,解得α=2,即f(x)=x2. 设g(x)=xβ,因为点在幂函数g(x)的图象上,所以2β=,解得β=-1,即g(x)=x-1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)=x2和g(x)=x-1的图象,可得函数h(x)的图象如图所示. 由题意及图象可知h(x)=根据函数h(x)的解析式及图象可知,函数h(x)的最大值为1,单调递增区间为(0,1],单调递减区间为(-∞,0)和(1,+∞). 21.(12分)已知函数f(x)=loga(1+x),g(x)=loga(3-x)(a>0,a≠1). (1)当a>1时,若h(x)=f(x)+g(x)的最大值为2,求a的值. (2)求使f(x)-g(x)>0的x的取值范围. 【解析】(1)因为所以-1<x<3,因为h(x)=f(x)+g(x)=loga[(1+x)(3-x)],所以当x=1时,(1+x)(3-x)取最大值4.因为a>1,所以当x=1时,h(x)取最大值loga4,因此loga4=2,a=2. (2)因为f(x)-g(x)>0,所以loga(1+x)>loga(3-x),当a>1时,1+x>3-x>0,1<x<3;
当0<a<1时,0<1+x<3-x,-1<x<1;
因此当0<a<1时,解集为(-1,1);
当a>1时,解集为(1,3). 22.(12分)已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数,当x>0时,f(x)=-2x. (1)求f(x)的解析式;
(2)若对任意的t∈R,不等式f(t2-2t)+f(2t2-k)<0恒成立,求实数k的取值范围. 【解析】(1)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数, 所以f(0)=0.当x<0时,-x>0,所以f(-x)=-2-x. 又因为函数f(x)是奇函数, 所以f(-x)=-f(x), 所以f(x)=+2-x. 综上所述,f(x)= (2)因为f(-1)=>f(0)=0,且f(x)为R上的单调函数, 所以函数f(x)在R上单调递减. 由f(t2-2t)+f(2t2-k)<0得 f(t2-2t)<-f(2t2-k). 因为函数f(x)是奇函数,所以f(t2-2t)<f(k-2t2). 又因为函数f(x)是减函数,所以t2-2t>k-2t2. 即3t2-2t-k>0对任意t∈R恒成立, 所以Δ=4+12k<0,解得k<-. 故实数k的取值范围是.
高中数学第二章基本初等函数Ⅰ单元形成性评价含解析新人教A版必修1
时间:2023-06-24 08:25:02
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